Число степеней свободы в комплекснозначных моделях

Задам вам вопрос: сколько степеней свободы у регрессионной модели с четырьмя коэффициентами (\( k=4 \)), построенной по 80 наблюдениям (\( n=80 \))? Человек, изучавший эконометрику, без замедления скажет, что \( df = n- k \), то есть в нашем случае это будет \( 80-4=76 \).

А теперь другой вопрос. Сколько степеней свободы будет у регрессионной модели комплексных переменных с 4-мя коэффициентами, построенной по 80-ти наблюдениям? Не спешите с ответом. Там на самом деле не 76…

Для того, чтобы правильно ответить на этот вопрос, нужно понять, что собой представляет комплекснозначная регрессионная модель. Фактически она эквивалентна системе двух действительных уравнений, в которой используются одни и те же коэффициенты. Например, модель вида: \(y_1 + i y_2 = (a_1 + i b_1) (x_1 + i x_2)\) — эквивалентна следующей системе:

\begin{equation}
\left\{
\begin{matrix}
y_1 = a_1 x_1-b_1 x_2 \\
y_2 = b_1 x_1+a_1 x_2
\end{matrix} \right.
\end{equation}

То есть, даже если у вас в распоряжении только одно наблюдение, а нужно оценить два коэффициента, вы можете это сделать без затруднений, так как в вашем распоряжении оказывается система из двух уравнений с двумя неизвестными (\( a_1 \) и \( b_1 \)). Очевидно, что такая модель будет иметь 0 степеней свободы, так как она однозначно позволяет определить значения коэффициентов.

Если бы мы использовали для подобной модели всем известный метод оценки степеней свободы \( df = n- k \), мы бы пришли к выводу, что у модели \( -1 \) степень свободы и вынуждены были бы прийти к заключению, что оценить её не представляется возможным. Однако в случае с комплекснозначными регрессиями число степеней свободы должно рассчитываться иначе:

\begin{equation}
df = n-\frac {k} {2} .
\end{equation}

Конечно, в случае с нечётным числом коэффициентов, число степеней свободы будет дробным, однако математическую статистику дробными степенями свободы не удивить.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *